Aslen Amasra'lı olan Celal Eyiceoğlu 1914 yılında İstanbul'da dünyaya geldi. İlköğretimine müteakip 1927'de Bahriye Mektebi'ne girdi. 1935 yılında güverte Asteğmeni olarak Deniz Kuvvetlerine katıldı. 1940'da denizaltıcı oldu. 1944 yılında Deniz Harp Akademisinden mezun olduktan sonra Kurmay Binbaşı rütbesiyle denizaltılarda komutanlık yaptı.

Yarbay ve Albay rütbeleriyle Denizaltı Filosu Kurmay Başkanlığı'nda ve Deniz kuvvetleri Hareket Başkanlığı görevlerinde bulundu. 1956 yılında Kanada Deniz Ateşeliğine atandı. 1958-1960 yılları arasında Deniz Eğitim Komutanlığı Kurmay Başkanlığı 1. Denizaltı Filotillası Komodorluğu, Bartın Deniz üssü ve Karadeniz Bölge Komutanlığı görevlerini üstlendi. 1960 yılında İstanbul Boğaziçi Komutanlığı görevine getirildi. 30,08,1960 tarihinde Tuğamiral rütbesine yükselen Eyiceoğlu, Harp Filosu ve Denizaltı Filosu Komutanlıkları, Genelkurmay İstihbarat Başkanlığı, Kuzey Deniz Saha ve Donanma Komutanlıkları görevlerinde bulundu. 21,08,1968 tarihinde Orgeneralliğe terfi ederek 28,08,1972'de kendi isteği ile emekli oldu. 1974 yılı Eylül'ünde Tokyo Büyükelçiliğine atanan Eyiceoğlu 1979 yılına kadar bu görevini sürdürdü. Yurduna döndükten sonra, İstanbul Deniz Ticaret Odası'nın kurulmasını sağlayıp, Oda'nın ilk başkanı seçildi.